Wie wichtig ist so eine Node?
...wofür? Ohne full nodes kein Bitcoin, das heißt aber nicht das jeder einen laufen lassen muss.
Ist es dafür gedacht, wenn man keine online Wallet nutzen möchte und seine Coins auf dem eigenen PC verwalten möchte?
Auch, aber es gibt auch andere "SPV" Wallets die kein full node sind.
Oder kann Willi damit über seinen Rechner Solo Minen? 
Ja, lohnt aber vermutlich nicht.
Ein full node ist ein vollständiger Knoten im Bitcoin Netzwerk und verifiziert jede Transaktion und jeden Block. Full nodes nehmen von ihren peers Transaktionen und Blöcke an und leiten sie weiter sofern sie den Regeln entsprechen. Miner (bzw. Mining pools) müssen zwangsläufig mindestens einen full node betreiben um über unbestätigte TX und Blöcke anderer Miner informiert zu sein und die eigenen Blöcke zu verbreiten.
Ob ein full node auch eine vollständige Kopie der Blockchain haben muss kann man diskutieren.