Eine letzte Frage stellt sich mir aber noch.
Wie stelle ich sicher das es die gleichen Coins sind?
Zuerst solltest Du verstehen, dass es "die Coins an sich" gar nicht gibt. Deshalb kann man sie auch nicht identifizieren.
Das kann man vergleichen mit der Anzahl an Euros auf dem Kontoauszug des Giro-Kontos bei der Bank ...
Wenn Du jemand 3 Euro überweist, kannst Du auch nicht erwarten, dass am Ziel die selben 3 Euro ankommen, die Du los geschickt hast. Das ist absurd.
Die Bank ermittelt mithilfe der Kontonummer und ihrer Datenbank die Anzahl Euros über die Du verfügen kannst.
Die Wallet-Software ermittelt mithilfe der BTC-Adresse und der Blockchain die Anzahl Bitcoins über die Du verfügen kannst.
Jede Deiner BTC-Adressen ist in der Datei wallet.dat enthalten und wird dort durch je einen privaten (geheimen) Schlüssel repräsentiert. Wer diese privaten Schlüssel besitzt, kann über die zugehörige Menge Bitcoins verfügen.
BTW:Deshalb halte ich es generell für eine schlechte Idee, die privaten Schlüssel in einer online wallet zu speichern. Die sollten immer nur auf dem eigenen Computer liegen. Und ausserdem kann man die lokale wallet.dat nochmal insgesamt verschlüsseln und dadurch für andere unbrauchbar machen.
Das wichtigste ist also, die wallet.dat zu sichern, bzw. die privaten Schlüssel daraus zu exportieren und auszudrucken oder wegzuspeichern, so wie das mezzomix beschrieben hat. Dann kann nichts verloren gehen.