Вы путаете тёплое с солёным. Что хранится в локальном хранилище? Ключи кошельков?
А что происходит если зайти на сайт https://blockchain.info с другого компьютера, где ничего не хранится.
Откройте браузер на другом компе, залогиньтесь и сделайте транзакцию, и ... она выполнится.
И таки да, на этом другом компе сохранятся ключи. Но что это за ключи? Кошелька или ....?

Не путайте привкеи адресов BTC с ключами шифрования.
Имеющий доступ непосредственно к кошельку BTC (а не к той веб формочке которую многие считают кошельком) знает все адреса и соответственно их привкеи на этом кошельке.