He probado la solución que me comentaste y ha funcionado bien.
El problema es que el archivo aes.json es mas antiguo que las ultimas transacciones, así que por ahí lo tengo mal.
Si has conseguido la clave privada, ya tienes todo lo que necesitas (la clave privada es una cadena de caractres que comienza por alguna de estas tres letras: 5, L, K). Un vez llegado a ese punto, por ejemplo, puedes abrir Electrum, y en Wallet / Private keys / Sweep introduces la clave privada obtenida anteriormente. Electrum te permite enviar todos los bitcoins desde la dirección asociada a esa clave privada, a otra dirección de tu propio wallet de Electrum.