Ich kenne "Exodus Wallet" nicht, aber wenn dort tatsächlich stets die selbe Adresse verwendet wird, ist das schlicht und ergreifend schlechte Software.

Die Lösung muss dann zwangsläufig lauten: wechsle die Software.
Ob du jetzt Core benutzt, oder z.B. Electrum oder so, ist dann eine Frage des Geschmacks.
Ich selbst nutze für den "Alltag" Electrum auf dem Mac und Mycelium auf dem Iphone

Aber eins vorweg: es ist zwar "unsicher", Adressen wiederzuverwenden, aber deswegen musst du dich mit dem Wechsel der Software nicht beeilen.
Ein Angreifer, der tatsächlich einen hochgeheimen Super-Quantencomputer in seiner Schurken-Höhle im Inneren eines erloschenen Vulkans stehen hat, hat sicherlich erstmal bessere Angriffsziele als deine kleine Wallet.