1]  в основном на поддержку сети Nxt влияет работа сервера (того самого java -jar start.jar). Работа web-клиента заключается только в передаче запросов серверу, и отображению ответов в браузере.
2] да, для поддержки сети лучше сервер Nxt держать включённым, если есть такая возможность. Тем более, он ещё и майнить при этом будет (если из web-клиента один раз открыть свой аккаунт).
3] файлы blocks.nxt и transactions.nxt содержат блокчейн, т.е. то, ради чего работает сервер Nxt. В их присутствии сервер может не запускаться только если предыдущий раз он был "убит" через таск-менеджер (или выключением компьютера), а не завешён по Ctrl+C.