Ну вообще для разных математических абстракций - понятия "сложение", "умножение" и прочие очень разные.

Например сложение целых чисел - мы все знаем. Оно обладает свойством коммутативности, ассоциативности и подчиняется правилу сложения.

Сложение векторов в пространстве - уже сильно отличается от сложения целых чисел, хотя так же коммутативно и ассоциативно (т.е. фундаментально без разницы что с чем складывать и в каком порядке), однако правила сложения уже несколько отличаются, т.к. вектор описывается не одним числом а набором чисел (в зависимости от размерности пространства). На плоскости вектор можно описать двумя числами - координатами конца стрелочки протянутой из нуля. Например у вектора тянущегося под 45% направо вверх будет запись (1,1) или (2,2) и т.п. Умножение вектора на число - это помножение всех "координат", его описывающих на число (если это нарисовать, то это будет выглядеть как удлиннение стрелочки без изменения направления). Умножив вектор (1,1) на 2 получим вектор (2,2).


Сложение в применении к элептической криваой определяется совсем иначе - а именно как поиск решения системы уравнений и инвертирования его знака по оси Y.  Одно уравнение описывает кривую, другое - прямую, проведенные через две точки - но это вы уже видимо поняли.
Складывать, разумеется можно только те точки, которые УЖЕ находятся на кривой (т.е. являются решением уравнения кривой при фиксации X или Y в уравнении кривой. Сложить точки с координатами (1,1) и (0,1) на криваой не получится, т.к. они не лежат на кривой ).

Возникает резонный вопрос - что делать в тех случаях, когда точку надо сложить с самой собой, чтобы через такое сложение можно определить умножение? Сложение точки с самой собой предполагает такую прямую, которая проходит через эту едиственную точку на бесконечно малом участке кривой, то есть - касательную. А уравнение касательной, как известно легко вычисляется, расчетом производной. То есть если мы имеем произвольную точку на кривой, мы считаем ПРОИЗВОДНУЮ элиптического уравнения в этой точке (производная - это уравнение прямой). Потом мы решаем систему уравнений этой прямой и уравнения кривой, инвертируем по знаку и получаем ту точку, которая будет "суммой" A+A или иными словами A*2. Вот так определяется умножение. Чтобы посчитать 3*А - можно прибавить к 2A еще один A.

Как видите, если вчитаться в этот абзац "умножение" на кривой это адский гемморой, но он несколько облегчается, ели организованно использовать память и свести умножение к сложению. Например чтобы посчитать 9A можно посчитать 2A+2A = 4A, потом посчитать 4A+4A = 8A а потом прибавить 1А.

Если А это произвольное число длинной в 256 бит (~10^77), то, чтобы посчитать его произведение на любое другое число (НА КРИВОЙ) потребуется операций сложения не более чем 510. (Если очень надо - можно это доказать).

Так вот если вышесказанное визуализировать, то умножение на кривой геометрически выглядит как бешеные, рандомно выглядящие скачки по кривой в непредсказуемом направлении.

Теперь о криптографии. Допустим есть A - это старотовая точка. И есть B - множитель. Есть так же произведение A * B = C.
Если я вам дам С, то сможете ли вы узнать сколько раз B сложили с самим собой (A), чтобы получить С? Оказывается, что нет, потому что не определено (во всяком случае на данный момент) операции деления и единственная опция поиска A это тупо складывать B с самим собой в надежде получить С.

Ну вот тут мы и подходим к шифрованию.
в моем примере A - это ваш приватный ключ, С - это ваш публичный ключ а B - это стартовая точка на кривой, по которой вы начинаете свое путешествие из точки A в точку C, складывая B c самим собой по правилу сложения которое я описал выше.  

Надо глубже, или так понятно?