Ja. Und nein.

Das FA kann natürlich überall anrufen und irgendwas fragen, nur ob da auch eine (sinnvolle) Antwort gegeben wird, steht auf einem anderen Blatt.
Die Börsen sind jedenfalls gegenüber dem FA nicht auskunftspflichtig, was einzelne Trades angeht, sondern in erster Linie einmal nur darüber, welche Personen bei ihnen Konten unterhalten.

Konkret bedeutet das, wenn das Finanzamt (aus welchem Grund auch immer) vermutet, dass du ein Konto bei einer Bank hast, darf das FA bei dieser Bank nachfragen, und erhält dann die Auskunft, welche Konten du dort seit wann hast.
Nun kann das FA dich auffordern, Kontoauszüge einzureichen, wobei du evtl. immer noch "kürzen" darfst, um irrelevante Informationen zu schwärzen etc.
Schließlich geht es das FA nichts an, für welche Pornoseiten du Abos abgeschlossen hast.
Erst, wenn du auch auf Verlangen des FA die Kontoauszüge nicht vorlegst, hat das FA das Recht, die Kontoauszüge direkt bei der Bank einzufordern, und dann muss die Bank diese auch liefern.

Quelle: https://www.lohi.de/steuertipps/aktuell/article/darf-das-finanzamt-einen-kontenabruf-durchfuehren.html


Anders dürfte es sich im Übrigen verhalten, wenn die Börse z.B. STOs o.ä. für ihre Kunden verwaltet.
Hier muss die Börse selbst wohl eine evtl. anfallende Kapitalertragsteuer abführen etc., und ist schon deshalb verpflichtet, von sich aus gewisse Informationen über ihre Kunden an das FA weiterzugeben.
Dafür ist also gar nicht erst eine Anfrage des FA notwendig.


Life-Hack für das Finanzamt: macht mal einen Airdrop von einem STO auf alle Bitcoin-Adressen!
Dann hat jeder, der BTC auf einer Börse hält, automatisch so einen Token, und die Börsen müssen euch (indirekt) mitteilen, wer wieviele BTC bei ihnen hat