Eso es importante, y sin embargo la excepción en tu cliente php indica que se produce un "Connection timed out".

Si estás ejecutando Bitcoin-Qt y el servidor Apache en el mismo ordenador (o incluso en la misma red pero en ordenadores diferentes), puedes tener problemas si estás intentando acceder desde Apache a Bitcoin-Qt a través de la dirección IP externa. Es decir, puedes tener problemas si sales del router y la petición vuelve a entrar en el mismo router. Para evitar ese problema, prueba con direcciones IP locales. Si Bitcoin-Qt y Apache se están ejecutando en el mismo ordenador, prueba con la dirección IP: 127.0.0.1 ¿Funciona así?

Otra forma de ver si tienes conectividad es ejecutar el siguiente comando, aunque en Windows hay que activar telnet explícitamente:

telnet 8332

Cuéntanos cómo vas avanzando.