Мессенджер АДАМАНТ на iOS умеет оповещать о новых сообщениях, даже когда приложение не запущено.
Посмотрите видео, как включить пуш-уведомления: https://youtu.be/HbDUnAVwHKo.
Скачать iOS-приложение: https://itunes.apple.com/app/adamant-messenger/id1341473829