Ich mach das alles alleine mit Kodi bzw. Linux auf einem Raspberry Pi 2+.
Der Raspberry funktoniert wie ein ganz normaler PC, kostet dich rund 50 und lässt (fast) keine Wünsche offen.
Zusätzlich brauchst du nur noch einen (oder merhere) Linux kompatibelen USB-DVB-Stick (siehe z.b.:
https://www.linuxtv.org/wiki/index.php/DVB-S2_USB_Devices) welche schon für ~20 zu haben sind.
Der Raspberry bekommt dann eine Linux-Distro deiner Wahl (am einfachsten wäre OSMC das ist für den Pi optimiert und hat Kodi vorinstalliert), und Kodi oder welche "Home Theater Software" dir auch immer zusagt.
Unter Kodi gibts dann verschidene VCR Apps mit denen du ganz einfach die normalen Fernsehprogramme ansehen und aufnehmen kannst.
Für alle anderen Features (Netflix, Spotify, Prime) hat Kodi auch Apps und wenn nicht hast du immernoch ein vollwertiges Linux im Hintergrund laufen das notfalls sogar über Wine Windows-Only Programme ausführen kann.
Achja es ist evtl. sogar möglich die FireTV Box für deine Zwecke zu modifizieren, damit kenne ich mich aber nicht aus, am besten mal nach "DVB + FireTV" googlen.