Вот посмотрите, построил две кривые по формуле биткоина, только с маленькими модулями, 67 и 61 соответственно. Если кривая определена на каком-то "y", то такой-же "y" есть по-любому еще у двух точек. Так происходит не с каждым простым модулем, но это есть, и модуль биткоина не исключение.
Правильные картинки. То, что для различных точек "у" может повторяться - работа модуля по полю. Так и должно быть. Но для любого "х" может существовать только два "у" с разными знаками, а никак не три или более.
Часто в различных статьях изображают кривую биткоина неверно (с волнами, где горизонтальная прямая может пересечь кривую в трёх точках), что вводит читателя в заблуждение.
Ну мы же рассматриваваем программные методы генерации точек. И для этого исходная точка-генератор может быть посчитана зараннее и задана в программе двумя координатами. В криптоприложениях никто точки по формулам не высчитывает ибо это слишком ресурсозатрано. Даже если и посчитать по формуле - то как определяется точка-генератор? Генератор (который указан в стандарте на кривую) записывается хардкодом, ей присвается групповой индекс "1", и все остальное считается исходя из нее. Я писал что "для сложения точек формула не нужна", то есть когда точки уже известны - их можно складывать, зная только порядок поля. А в случае удвоения точек нужен еще аргумент а из уравнения.
Что в Вашем понимании означают "программные методы генерации точек"? Это определение точек кривой без формулы для этой кривой?
И что означает "когда точки уже известны"? Они появились из ниоткуда сами собой без формулы?