Il grafico qui sopra mostra in arancione i 770 valori reali (Bitcoin in once d’oro) e in linea continua il modello logistico asimmetrico
ricostruito con i parametri ottimizzati; si osserva che il fit cattura il trend di crescita di lungo periodo, pur non riuscendo a seguire
le oscillazioni più brusche e i picchi (fenomeni tipici delle criptovalute).

Interpretazione rapida

I_x ≈ 770 indica che, con questi limiti superiori scelti, il punto d’inflessione si colloca proprio all’estremo della serie disponibile:
il modello “spinge” l’inflessione verso il futuro per accomodare l’accelerazione del rapporto BTC/Oro degli ultimi anni.

S ≈ 0.25 riflette una pendenza relativamente morbida nel punto di inflessione (circa +25 % del range limite per settimana, 
una crescita comunque molto rapida).

c ≈ −5 rende la curva fortemente asimmetrica: l’inflessione si trova molto più vicina al limite superiore, con una lunga “coda” iniziale
quasi piatta e poi un’accelerazione finale.

Questi valori sono il compromesso migliore, in senso RMS, dato che la volatilità e i picchi del dato reale non sono descrivibili
da una singola curva sigmoide. 

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- Load data and parameters -------------------------------------------------
data_path = "/mnt/data/bitcoin_in_gold_weekly.xlsx"
df = pd.read_excel(data_path).sort_values("Week").reset_index(drop=True)

x_data = np.arange(1, len(df) + 1)          # 1 .. 770
y_data = df["BTC_in_gold"].values

# Parameters found in previous fit (LL=0, LU=140)
LL, LU = 0.0, 140.0
I_x, S, c = 770.0, 0.2522498, -5.0          # rounded popt values

# --- Asymmetric logistic model function --------------------------------------
def asymmetric_logistic(x_vals, I_x, S, c):
    s0 = np.exp(c) + 1.0
    s1 = np.exp(-c)
    s2 = s0 ** (s0 * s1)
    s3 = S / (LU - LL)
    y_part = (np.exp(s2 * (s3 * (I_x - x_vals) + c / s2)) + 1.0) ** (-s1)
    return LL + (LU - LL) * y_part

# --- Generate prediction up to week 2000 -------------------------------------
x_pred = np.arange(1, 2001)                 # 1 .. 2000
y_pred = asymmetric_logistic(x_pred, I_x, S, c)

# --- Plot ---------------------------------------------------------------------
plt.figure(figsize=(9,4))
plt.scatter(x_data, y_data, s=10, label="Dati reali (BTC/Oro)")
plt.plot(x_pred, y_pred, linewidth=2, label="Modello logistico (proiezione)")
plt.xlim(0, 2000)
plt.xlabel("Numero della settimana")
plt.ylabel("BTC in once d'oro")
plt.title("Proiezione della curva logistica asimmetrica fino alla settimana 2000\n(LL=0, LU=140)")
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

import pandas as pd
import numpy as np
from math import exp
import matplotlib.pyplot as plt

# Load the weekly BTC-in-gold data we previously produced
data_path = "/mnt/data/bitcoin_in_gold_weekly.xlsx"
df = pd.read_excel(data_path)

# Ensure chronological order and reset index
df = df.sort_values("Week").reset_index(drop=True)
x = np.arange(1, len(df) + 1)        # week number (1 .. 770)
y = df["BTC_in_gold"].values         # target variable

# Fixed logistic parameters
LL = 0.0          # lower asymptote
LU = 140.0        # upper asymptote

# --- Asymmetric 5‑parameter logistic model (re‑parameterised) -----------------
def asymmetric_logistic(x_vals, I_x, S, c):
    """
    5‑param asymmetric logistic with LL, LU fixed.
    
    Parameters
    ----------
    x_vals : ndarray
        Independent variable (week number)
    I_x : float
        x‑coordinate of inflection point
    S : float
        Slope at inflection point
    c : float
        Symmetry parameter (0 = symmetric)
        
    Returns
    -------
    ndarray
        Model values at x_vals
    """
    # common sub‑expressions (cfr. Osthege & Helleckes 2021) 
    s0 = np.exp(c) + 1.0
    s1 = np.exp(-c)
    s2 = s0 ** (s0 * s1)
    s3 = S / (LU - LL)
    
    y_part = (np.exp(s2 * (s3 * (I_x - x_vals) + c / s2)) + 1.0) ** (-s1)
    return LL + (LU - LL) * y_part

# ------------------------------------------------------------------------------

# Use SciPy's curve_fit if available; otherwise fall back to nelder‑mead
try:
    from scipy.optimize import curve_fit
    popt, pcov = curve_fit(
        asymmetric_logistic,
        x,
        y,
        # initial guesses: Ix halfway, slope small, symmetry neutral
        p0=[x.mean(), 0.5, 0.0],
        bounds=([0.0, -np.inf, -5.0], [x[-1], np.inf, 5.0]),
        maxfev=20000
    )
except Exception as e:
    # SciPy not present: very light Nelder‑Mead with numpy
    print("SciPy unavailable – using fallback optimisation.")
    from functools import partial
    def mse(params):
        Ix, S, c = params
        y_hat = asymmetric_logistic(x, Ix, S, c)
        return np.mean((y - y_hat) ** 2)
    
    # simple random restart Nelder‑Mead
    best = None
    best_val = np.inf
    for guess in [
        (x.mean(), 0.5, 0.0),
        (x.mean()*0.8, 1.0, 0.2),
        (x.mean()*1.2, 0.1, -0.2)
    ]:
        res = scipy.optimize.minimize(mse, guess, method="Nelder-Mead")
        if res.fun < best_val:
            best_val, best = res.fun, res.x
    popt = best
    pcov = np.full((3,3), np.nan)

I_x, S, c = popt

# Print fitted parameters
print(f"Fitted parameters (least‑squares):\n  I_x = {I_x:.3f}\n  S   = {S:.6f}\n  c   = {c:.6f}")

# Plot data vs model
plt.figure(figsize=(8,4))
plt.scatter(x, y, s=10, label="Data (BTC in gold)")
plt.plot(x, asymmetric_logistic(x, *popt), linewidth=2, label="Fitted logistic")
plt.xlabel("Settimana (index)")
plt.ylabel("BTC / Oncia d'oro")
plt.title("Adattamento funzione logistica asimmetrica (LL=0, LU=140)")
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()