Quote from: picchio on January 24, 2016, 12:03:58 AM

Quote from: arulbero on January 23, 2016, 10:49:12 PM

...
Non riporta la soluzione (3,17) poichè riporta già la soluzione (3,0), che è la stessa. ...

Ok, in effetti in modulo 17, zero è congruente a 17 e questo l'ho capito. Mi sono imbattuto in questo documento che spiega qualcosa e incomincio a farmi domande piu' specifiche
http://kakaroto.homelinux.net/2012/01/how-the-ecdsa-algorithm-works/
Adesso devo capire il ruolo dei vari elementi coinvolti, vorrei capirlo prima su numeri piccoli ... si fa riferimento alla somma di due punti, rimanendo nel caso modulo 17 come ricavo ad esempio (2, 7)+(2, 7) ossia 2*(2, 7)?
IN generale, come calcolo (a, b) + (c, d) e come posso essere sicuro che sia un elemento della curva?
Nel caso di curva ellittica in R^2 usa le rette tangenti e si vede che si intersecano ma nel capo dei discreti? Succede solo se la base è un numero primo?
Vorrei poter simulare a mano il funzionamento ...
NB: sono OT scusate.

Ho aperto un thread apposito https://bitcointalk.org/index.php?topic=1339031.msg13658587#msg13658587
per discutere di questo argomento.

La risposta breve è che:
quando l'insieme delle coordinate possibili per x e y (nel tuo caso: a,b,c,d) sono prese in un sottocampo dei numeri reali (sia per (a,b) che per (c,d))
quando (a,b) e (c,d) soddisfano entrambe la stessa equazione di una curva ellittica
quando hai definito una somma per cui (a,b) + (c,d) è sempre un punto della curva ellittica (nel piano cartesiano con coordinate reali)

allora per un teorema di Poincarè del 1900
la loro somma (a,b) + (c,d) è sempre un punto della curva ellittica con coordinate che stanno ancora nel sottocampo dei numeri reali da cui ha pescato a,b,c,d.

Quindi se a,b,c,d appartengono a F17, come nell'esempio di mastering bitcoin, allora sicuramente anche P = (a,b) + (c,d) (somma definita inizialmente su R) deve avere ancora coordinate in F17.

D'altronde se per la risoluzione dell'ultimo teorema di Fermat Andrew Wiles ha utilizzato proprio le curve ellittiche il motivo è proprio questo Wink

Per quanto riguarda come si fa a fare la somma, è semplice geometria analitica: applica il discorso della secante nel caso della somma di due punti distinti in R, troverai una formula che ottiene le 2 coordinate del punto finale per mezzo proprio di a,b,c,d; la stessa formula vale anche nel sottocampo K, cioè la teoria afferma che sicuramente le coordinate che otterrai saranno ancora nel sottocampo nel quale stai lavorando. Ovviamente devi fare però tutti i calcoli sulle coordinate modulo p!