Перевод. Оригинальная статья https://medium.com/@massimo.franceschet/primenuum-3aa65dc196b1
The Primenuum - название художественной визуализации простых чисел

Простые числа - это сердечный ритм математики,у которой пульс стимулируется мощным кофеино-содержащими коктейлем"

Маркус дю Сотой

Художественная визуализация всех простых чисел, содержащихся в первом миллионе натуральных чисел ( версия с высоким разрешением ). Мы называем такую визуализацию Primenuum. Произведения Primenuum отмечены как цифровые рисунки в галерее SuperRare.

Простое число - это натуральное число, больше 1, которое не может быть образовано путем умножения двух меньших натуральных чисел. Например, 17 является простым, но 21 не является простым, поскольку 21 = 3 · 7, следовательно, 3 и 7 являются делителями числа 21.

Аналогично,простые числа- это числа без делителей, кроме 1 и самого числа. Например, 17 - простое число, а 21 - нет, поскольку 21 = 3 x 7, следовательно, 3 и 7 - делители 21.

Простые числа являются центральными в теории чисел из-за фундаментальной теоремы арифметики:любое натуральное число, больше 1, либо является простым, либо может быть выражено как произведение простых чисел, в соответствии с их расположением. Например, 108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 2² · 3³.

Простые числа также используются в некоторых процедурах в информационных технологиях , таких как криптография с открытым ключом , которая основывается на сложности разделения больших чисел на их основные факторы.

Существует бесконечно много простых чисел, как показал Евклид около 300 г. до н. Однако ни одна из известных простых формул не отделяет простые числа от составных (не простых) чисел. Тем не менее, распределение простых чисел в натуральных числах в целом может быть статистически смоделировано. Первым результатом в этом направлении является теорема простых чисел, доказанная в конце XIX века, согласно которой вероятность случайно выбранного числа быть простым обратно пропорциональна его количеству цифр, то есть логарифму. Следовательно, хотя простых чисел бесконечно много, частота простых чисел в пределах собственных постепенно уменьшается по мере увеличения числа рассматриваемых естественных чисел.

Это ряд открытых вопросов, связанных с простыми числами, часто имеющих элементарную формулировку. Некоторые из них перечислены ниже:

- Гипотеза Гольдбаха: каждое четное целое число больше 2 можно выразить как сумму двух простых чисел.

- Гипотеза двойного простого числа: Существует бесконечно много простых чисел - близнецов, то есть простых пар, которые отличаются друг от друга на 2.

- Гипотеза Полиньяка: На каждое целое положительное число k приходится бесконечно много пар последовательных простых чисел, которые отличаются на 2k (это обобщение двойной простой гипотезы на все четные числа).

В эстетике существует общее мнение, что красота лежит на пересечении порядка и беспорядка. Идеальный порядок утомителен и потому не привлекателен. Хаос непостижим для нашего мозга и поэтому не менее непривлекателен. Когда мы отходим от порядка, не приводя к полному хаосу, сохраняя неустойчивый баланс между регулярностью и беспорядком, часто мы получаем результат, который удивляет и волнует, чтобы мы могли его посчитать прекрасным.

"Восхищение лежит где-то между скукой и смятением. Если монотонность делает его достижением трудным, избыток новизны перегрузит систему и заставит нас сдаться; нас не вдохновит изучение дорожки из камней разной формы". Ричард Падован

На мой взгляд, простые цифры являются идеальным воплощением этой эстетической идеи и, следовательно, роскошной составляющей красоты и искусства. Простые числа бесконечны по количеству, и по мере их роста они становятся все реже и реже. Однако математики предполагают, что существует бесконечно много близких пар простых чисел (таких как простые числа близнецы,кратные двум, или простые числа,кратные 4). Точное распределение простых чисел в пределах естественных чисел остается загадкой и связано с одним из самых известных нерешенных математических вопросов, начиная с 1859 года: гипотезой Римана, одной из задач тысячелетия.

Мы предлагаем художественную визуализацию простых чисел под названием Primenuum. Идея, стоящая за ним, довольно проста и пришла в голову прекрасному художнику Серхио Скалету из Хакатао, когда он размышлял над процессом ветвления деревьев. Затем идея была закодирована в обработкеMassimo Franceschet от HEX0x6C.

Сканируйте натуральные числа, начиная с 1. Для каждого числа нарисуйте небольшой сегмент фиксированного размера, начиная с центра холста и двигайтесь слева направо. Когда встречается простое число, поверните направление рисования на 90 градусов по часовой стрелке (или поверните холст на 90 градусов против часовой стрелки).

Анимация, показывающая создание небольшого Primenuum размером 200.

Размеры Primenuum - это количество содержащихся в нем натуральных чисел. Ниже показан (с низким разрешением) черно-белый Primenuum типоразмера 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, 50000, 100000, 200000 и 500000. Зеленый круг является начальной точкой, а красный круг - конечной точкой. Мы предлагаем скачать и заблудиться в версиях с высоким разрешением(5.1 M).

Далее картинки имеют очень большой вес и некорректно отображаются на форуме,смотреть лучше в оригинале:

https://miro.medium.com/max/4867/1*q-6zh9F_catLD1oEVr8EAA.png

https://miro.medium.com/max/8355/1*wKdiT5gPsOCYcruhaRXQZg.png

Отрезок в Primenuum соответствует промежутку между простыми натуральными числами, то есть последовательности последовательных составных (не простых) чисел. Это обязательно равный размер (2 для двойных простых чисел). С другой стороны, каждый ход в Primenuum соответствует простому числу. Двойные простые числа соответствуют U-виткам, то есть резким поворотам на 180 градусов. Поскольку вероятность того, что число простых чисел уменьшается с увеличением числа, мы ожидаем, что в среднем будет меньше вращений и больше длинных сегментов по мере роста Primenuum в пространстве. Однако, если гипотеза Полиньяка верна, то для каждого четного числа существует бесконечно много отрезков этой длины.

Например, в Primenuum с натуральными числами 1000, 10000, 100000 и 1000000 есть, соответственно, 168, 1229, 9592 и 78498 простых чисел (оборотов) для уменьшения относительной частоты 0,168, 0,123, 0,096 и 0,078. Растущий средний разрыв (длина сегмента) между сегментами составляет соответственно 5,93, 8,11, 10,42 и 12,74, при этом максимальный разрыв увеличивается до 20, 36, 72 и 114.

Далее мы покажем цветной Primenuum размером 1, 2, 3, 4 и 5 миллионов. Цвета начинаются с серого и слегка изменяются при обнаружении нового простого числа. Обратите внимание, что каждое изображение включено в следующее (большее) изображение. Вы можете скачать версии с высоким разрешением, черно-белые (87,8 М) и цветные (105,4 М).

https://miro.medium.com/max/1532/1*R0P4GYZRVL-EH-TNR2tgZw.png

https://miro.medium.com/max/2380/1*FoZq5J6GckcTtipiT9sw1w.png

https://miro.medium.com/max/3370/1*WqQd8E16iq8zQ7rl2hpf8Q.png

https://miro.medium.com/max/4934/1*jbZlegGzyZyaIegcmmSapA.png

https://miro.medium.com/max/5101/1*ZMzBjbTNFCauNi475C3fDg.png

Вопросы в лаконичной области простых чисел могут быть нанесены на карту визуальной Вселенной Primenuum и, возможно, это может предложить новый способ поиска решения. С другой стороны, структура Primenuum может подсказывать исходные запросы, связанные с простыми числами. Некоторые из них перечислены ниже:

1. Есть ли повторяющиеся паттерны в Primenuum?

2. Имеет ли Primenuum фрактальную структуру ? В общем плане, есть ли симметрия в структуре Primenuum?

3. Поскольку существуют простые промежутки произвольного размера,Primenuum не ограничен в пространстве . Однако расширяется ли он без ограничений во всех четырех направлениях?

4. Мы говорим, что два простых числа перекрываются, если они лежат в одной и той же двумерной точке на холсте Primenuum (это вызывает отношение эквивалентности среди простых чисел). Привлекают ли некоторые точки холста простые числа, что означает, что над этой точкой много перекрывающихся простых чисел? Другие точки отражают простые числа?

"Каждый дурак может задавать вопросы о простых числах, на которые мудрейший человек не может ответить" Г.Г. Харди.

Описанный Primenuum - двумерный объект, но его можно обобщить до n-мерного Primenuum для каждого целого числа n, большего или равного 1. Мы планируем построить трёхмерный Primenuum (3D-печать и ручная работа).

Мне нравится рисовать (или создавать) все большего и большего (2D и 3D) Primenuum, чтобы обнаруживать все большие и большие простые числа (мой ноутбук останавливается на 5 миллионах чисел, в основном из-за переполнения памяти из-за растущего холста ). Если вам удается вычислить большой Primenuum, отправьте нам изображения с низким и высоким разрешением, чтобы мы могли добавить их, а также ваше имя на эту страницу. Также, если у вас возникнут дополнительные интересные вопросы по Primenuum, я бы хотел добавить их к вышеприведенному списку (с вашим именем).

Вскоре после публикации этого поста LuGher удалось вычислить гораздо больший Primenuum, используя технику коллажа , то есть путем вычисления различных частей Primenuum и склеивания их вместе. Вот впечатляющая анимационная последовательность от 100 миллионов до 2000 миллионов (2 миллиардов) с шагом 100 миллионов чисел:

https://miro.medium.com/max/1200/1*EqwT69bMvnO0X_z88qePAw.gif

Primenuum от 100 миллионов до 2 миллиардов (шаги 100 миллионов чисел)